Pricing the convexity premium of interest rate derivatives indexed to CDI using a HJM multi-factorial model

Abstract

A estocasticidade das taxas de juros somada à capitalização composta do índice CDI geram riscos de primeira e de segunda derivada em derivativos indexados a um percentual diferente de 100% do CDI. Há literatura acerca do tema, muito utilizada como bibliografia referência para execução deste trabalho, entretanto na prática o mercado financeiro de forma generalizada costuma apreçar corretamente o risco de primeira derivada sem dar a devida atenção ao segundo fator de risco, relacionado à convexidade. Tal risco, conforme evidenciado neste trabalho, é relacionado ao quão maior for a volatilidade da curva de juros; ao percentual do CDI ao qual o derivativo está indexado; quão maior for o nível da curva de juros, e quão mais longo for o prazo até o vencimento do derivativo. O atual contexto de baixas taxas de juros em muitas geografias pode levar agentes a relevar o impacto de tais riscos de segunda ordem, devido ao baixo nível das curvas de juros, porém este mesmo ambiente de juros baixos também levou ao alongamento do prazos de dívidas, o que impactará o prazo dos derivativos associados a tais emissões, levando o montante desta exposição em vencimentos mais longos potencialmente ao maior nível observado no mercado. Com uma possível normalização das políticas monetárias expansionistas em diferentes países, é esperado que os riscos de segunda ordem atrelados à convexidade destes derivativos então se revele de forma abrupta. Portanto, poderia ser dito que é conveniente adereçar esse tema em particular ainda hoje, uma vez mais. Este trabalho busca contribuir para a literatura ao analisar a convexidade de tais derivativos sob o arcabouço teórico do modelo HJM e propor como ferramenta a obtenção de uma equação polinomial que possa ser utilizada como estimador do prêmio associado à convexidade presente em derivativos indexados à um percentual acima de 100% do CDI, em função deste percentual e em função do vencimento do derivativo, para obter de uma maneira rápida uma estimativa do valor de tal convexidade, a ser considerada quando apreçando derivativos desta natureza. São utilizados dados históricos de fechamento de futuros de DI para estimar os parâmetros de volatilidade de um modelo multifatorial HJM para então através de simulações de Monte Carlo apreçar os prêmios relacionados à convexidade presente em derivativos indexados à percentuais do CDI diferentes de 100%.

The stochastic element of the dynamics of interest rates combined with the compounded capitalization of the CDI index generates risks of first and second order on derivatives indexed to a percentage different from 100% of CDI. There is literature focused on this, recurrently brought as reference in this work, however in practice the financial market in a general manner prices correctly the first order risk (delta) without giving such diligent attention to the second order risk (gamma), related to the convexity. Such risk, as it is evidenced throughout this work, is positively related to the volatility of the yield curve, to the difference from 100% CDI to the percentage of CDI that the derivative is indexed, it is also related to the maturity of the derivative, being higher on longer tenor derivatives; altogether with the level of the interest rates yield curve. The current context of low interest rates across the globe, may let agents to dismiss the impact of such second order risks, due to the low level of rates curves, but the lower level of interest rates also led to lengthen the tenors of issued debts and the derivatives associated with such emissions, making the amount of this exposure on longer tenor possibly higher now more than ever. With a potential future normalization of monetary policies taking action on different economies, it is expected that the second order risk related to the convexity of these derivatives appears rapidly then. Therefore, it could be said that it is convenient to address this particular issue now, once again. The aim of this work is to contribute to the literature by analysing the convexity of these derivatives by the robust HJM framework and also by proposing as a tool a polynomial equation that could be used as an estimator of the convexity premium as a function of the percentage of CDI the swap in question is indexed and its maturity; to obtain in a quick manner an educated guess of the value of such convexity, that must be considered when pricing such derivatives. The work is based on historical closing prices of DI futures to estimate the volatility parameters of a multi-factorial HJM model to, with these modeled dynamics, then price through Monte Carlo simulations the premiums associated to the convexity of derivatives indexed to percentages different from 100% of CDI on different maturities.