Fish farming and malaria: a model of mosquito population control

Abstract

Estudamos dois problemas matemáticos distintos, mas relacionados, alcançando resultados teóricos e aplicados. Estudamos o problema da malária na região do Alto Juruá, no Acre, propondo um sistema de equações diferenciais (incluindo uma equação impulsiva) como modelo epidemiológico levando em conta a relação entre a falta de manutenção dos tanques de piscicultura e a malária. Para isso, foi organizada uma expedição de campo acompanhando uma equipe da Fundação Oswaldo Cruz, revisaram-se artigos sobre a região e fez-se uma revisão histórica da modelagem matemática da malária. Descrevemos o nosso modelo, integrando a dinâmica vector-hospedeira da malária, o ciclo de vida de mosquitos Anopheles darlingi e a limpeza e crescimento da vegetação de borda em tanques de piscicultura. Teoremas sobre o comportamento assintótico do sistema foram deduzidos, e o sistema foi numericamente simulado e analisado. Nossa análise argumenta em favor de empregar campanhas de limpeza de tanques de peixes e campanhas educativas como medidas de controle da malária. Durante a análise, percebeu-se que nosso modelo não satisfazia as condições para aplicar o Teorema de Smith (H. L. Smith. Cooperative systems of differential equations with concave non-linearities. Nonlinear Analysis: Theory, Methods Applications, 1986) sobre o comportamento assintótico de equações diferenciais cooperativas e côncavas. Mais especificamente, o teorema assume a continuidade de tempo da função dinâmica, que nosso modelo não satisfez. A fim de contornar este problema, o background teórico do teorema foi estudado, e o resultado foi estendido para funções com dinâmica apenas mensurável no tempo.

We studied two distinct but related mathematical problems, achieving both theoretical and applied results. We studied the problem of malaria in the region of Alto Juruá, Acre, proposing a system of differential equations (including an impulsive equation) as an epidemiological model taking into account the relationship between the lack of maintenance of fish farming tanks and malaria. In order to do that, a field expedition was put together with a team from Oswaldo Cruz Foundation, articles surveying the region were reviewed and a historical review of mathematical modelling of malaria was made. We describe our model, integrating the vector-host dynamics of malaria, the life cycle of Anopheles darlingi mosquitoes and fish tanks border vegetation growth and cleaning. Theorems about the asymptotic behaviour of the system were derived, and the system was numerically simulated and analyzed. Our analysis argues in favor of employing fish tank cleaning and educational campaigns as measures of malaria control. During the analysis, it was noticed that our model did not satisfy the conditions to apply Smith’s Theorem (H. L. Smith. Cooperative systems of differential equations with concave non-linearities. Nonlinear Analysis: Theory, Methods Applications, 1986) concerning the asymptotic behaviour of cooperative, concave differential equations. More specifically, the theorem assumes time continuity of the right-hand side function, which our model did not satisfy. In order to circumvent this problem, the theoretical background of the theorem was studied, and the result was extended to functions with merely time-measurable right-hand side.