Aplicação do movimento browniano em análise complexa

Abstract

O movimento Browniano (ou processo de Wiener), que além de sua riqueza como um objeto central na teoria dos processos estocásticos, tem propriedades interessantes relacionadas `a análise complexa, que estudamos neste trabalho. Começamos com uma revisão sobre propriedades básicas de espaços de Hilbert, necessárias para a seção seguinte, onde demonstramos a existência do movimento Browniano através de uma representacão num espaço L2. Depois vemos algumas propriedades básicas sobre distribuições e (ir)regularidades nas trajetórias do movimento Browniano. Em seguida, fazemos a construção da integral de Itô e provamos a fórmula de Itô, que é o resultado análogo ao teorema fundamental do cálculo para esta integral. Finalmente, estudamos a relação entre o movimento Browniano e o problema de Dirichlet através de seu tempo de saída de conjuntos abertos, o que permite também analisar sua recorrência/transiência. E através da fórmula de Itô, vemos uma relação entre o movimento Browniano e funções holomorfas, o que torna possível a demonstração de teoremas clássicos da análise complexa com ferramentas da probabilidade.