Variação temporal da volatilidade e precificação de derivativos

Abstract

This work brings out an approach to the study of structured robustness for the BlackScholes model that allows for not only accounting for the uncertainties on the determination of the parameters involved (volatility σ and risk-free rate of interest r) as well as for simplifying hypotheses such as the assumption that σ is time-invariant (in disregard of the heterocedasticity that is proper to the process). The originality of this approach comes from formulating the equation of Black-Scholes as an abstract ordinary differential equation and transfer to the context of linear operators in infinite dimensional normed spaces some techniques of structured perturbations on finite dimensional deterministic systems. These uncertainties on the model are formulated as being a time-varying additive pertubation applied to the coefficients of the Black-Scholes equation, each one separately or all at once, in order to obtain a quantification of robustness. Such quantification is done by means of a measure of robustness by establishing an upper bound for the 'magnitude' (ultimately, the norm) of the difference from the actual precification of the derivative and the theoretical precification given by the model since the norm of the perturbation does not exceed this measure. At the end or this work, this result is applied to establishing such measure of robustness in the case of the temporal variation of volatility for an European call option.

Este trabalho apresenta uma abordagem ao estudo de robustez estruturada do modelo de Black-Scholes que permite não só levar em conta as incertezas nas determinações dos parâmetros envolvidos (volatilidade s e taxa livre de risco r ) como também dar conta de hipóteses simplificadoras do modelo tais como assumir que s é invariante no tempo (em detrimento da heterocedasticidade inerente ao processo). A originalidade desta abordagem está em formular a equação de Black-Scholes como uma equação diferencial ordinária abstrata e transpor para o contexto de operadores lineares em espaços normados de dimensão infinita técnicas de perturbações estruturadas para sistemas determinísticos de dimensão finita. Estas incertezas no modelo são formuladas como sendo uma perturbação aditiva variante no tempo aplicada aos coeficientes da equação de Black-Scholes, cada um separadamente ou todos de uma vez só, para se obter uma quantificação da robustez. Esta quantificação é feita através de uma medida de robustez estabelecendo um limitante superior para a 'magnitude' (norma) da diferença entre a realização histórica da precificação do derivativo e a precificação teórica fornecida pelo modelo desde que a norma da perturbação não ultrapasse esta medida. No final do trabalho, este resultado é aplicado no estabelecimento desta medida de robustez no caso da variação temporal da volatilidade de uma opção de compra europeia.