Central limit theorems for risk averse optimization problems

Abstract

Nós estudaremos propriedades estatísticas de aproximações pela média amostral (SAA) de problemas de otimização estocástica aversos ao risco. Inicialmente, discutimos alguns resultados teóricos importantes que serão úteis para a sequência, como o Teorema Delta, o Teorema Central do Limite Funcional e alguns resultados para o caso risco-neutro. Também lembramos a definição geral de medidas de risco, concentrando-nos nas medidas de risco poliedrais estendidas e nas medidas de risco coerentes ”law invariant”. Em seguida, obtemos teoremas centrais do limite para os estimadores SAA dos valores ótimos destes problemas, sob certas condições impostas a estas medidas de risco. Por fim, apresentamos resultados numéricos para ilustrar os resultados teóricos.

We study statistical properties of the sample average approximation (SAA) of risk averse stochastic problems. We first introduce some background material, recalling important results for the continuation, such as the Delta Theorem, the Functional Central Limit Theorem, and asymptotics of risk-neutral problems. We also recall the concept of risk measures, focusing on two classes of risk measures: extended polyhedral risk measures (EPRMs) and law invariant coherent risk measures. We then provide central limit theorems for SAA estimators of the optimal values of stochastic programs expressed in terms of EPRMs or law invariant coherent risk measures, under certain assumptions on these risk measures. Numerical simulations illustrate the theoretical results.