Uma resenha sobre modelos de apreçamento de derivativos

Abstract

I present here an approach that unify a variety of derivative pricing models that consists of attaining a Partial Differential Equation(PDE) by intuitive arguments and give its solution by Feynman-Kac method as a conditinal expectation of a markovian process. The expectation is taken in a risk neutral world(or risk neutral measure) where all the assets grow at the risk free rate. I also present how to make this specific change of measure, connecting the real world to the risk neutral world, and show that the relevant element for the measure change is the market price of factor risk. When the market is complete the market price of risk is unique and when the market is incomplete there is a variety of possible prices to the market price of factor risks that satisfy no arbitrage arguments. In the latter case the parameters are usually chosen to calibrate the model to market data.

Apresento aqui uma abordagem que unifica a literatura sobre os vários modelos de apreçamento de derivativos que consiste em obter por argumentos intuitivos de não arbitragem uma Equação Diferencial Parcial(EDP) e através do método de Feynman-Kac uma solução que é representada por uma esperança condicional de um processo markoviano do preço do derivativo descontado pela taxa livre de risco. Por este resultado, temos que a esperança deve ser tomada com relação a processos que crescem à taxa livre de risco e por este motivo dizemos que a esperança é tomada em um mundo neutro ao risco(ou medida neutra ao risco). Apresento ainda como realizar uma mudança de medida pertinente que conecta o mundo real ao mundo neutro ao risco e que o elemento chave para essa mudança de medida é o preço de mercado dos fatores de risco. No caso de mercado completo o preço de mercado do fator de risco é único e no caso de mercados incompletos existe uma variedade de preços aceitáveis para os fatores de risco pelo argumento de não arbitragem. Neste último caso, os preços de mercado são geralmente escolhidos de forma a calibrar o modelo com os dados de mercado.